8) 5x²-2x-3 ≥0 x-1

Решим неравенство $$\frac{5x^2-2x-3}{x-1} \ge 0$$

Нули числителя: $$5x^2-2x-3=0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$$

$$x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2+8}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

$$x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2-8}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$$

$$5x^2-2x-3 = 5(x-1)(x+0.6)$$

Нули знаменателя: $$x-1=0$$$$x=1$$

Разложим числитель на множители: $$5(x-1)(x+0.6)=0$$$$x=1, x=-0.6$$

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

   -    +     -     +
---(-0.6)---(1)----(1)---->

Так как неравенство нестрогое, значения числителя включаем в решение. Значение знаменателя не включаем в решение.

$$x \in [-\infty;-0.6] \cup \{1\}$$

$$x \in (-0.6;1) \cup [1;+\infty)$$ $$x \in (1;1]$$

Исключаем точку 1, так как она является нулем знаменателя и не входит в область определения функции.

$$x \in [-\infty;0.6] \cup \{1\}$$

Ответ: $$x \in [-\infty;-0.6] \cup (1;+\infty)$$