(x-4)(x²+2x+1)=6(x+1)

Решение:

1. Разложим квадратный трёхчлен \( x^2 + 2x + 1 \) на множители: \( x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \).
2. Уравнение принимает вид: \( (x-4)(x+1)^2 = 6(x+1) \).
3. Перенесём все члены в левую часть: \( (x-4)(x+1)^2 - 6(x+1) = 0 \).
4. Вынесем общий множитель \( (x+1) \) за скобки: \( (x+1)[(x-4)(x+1) - 6] = 0 \).
5. Раскроем скобки во втором множителе: \( (x+1)[x^2 + x - 4x - 4 - 6] = 0 \).
6. Упростим выражение во вторых скобках: \( (x+1)[x^2 - 3x - 10] = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение \( x^2 - 3x - 10 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \).
8. Корни квадратного уравнения: \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) и \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).
9. Уравнение \( (x+1)[x^2 - 3x - 10] = 0 \) имеет три решения: \( x+1=0 \) или \( x^2-3x-10=0 \).
10. Таким образом, \( x = -1 \), \( x = 5 \) или \( x = -2 \).

Ответ: x = -1, x = 5, x = -2.