(x−1)(x²+8x+16)=6(x+4)

Решение:

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду.

1. Разложим квадратный трёхчлен \( x^2 + 8x + 16 \) на множители. Заметим, что это полный квадрат: \( x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2 \).
2. Исходное уравнение принимает вид: \( (x-1)(x+4)^2 = 6(x+4) \).
3. Перенесём все члены в левую часть: \( (x-1)(x+4)^2 - 6(x+4) = 0 \).
4. Вынесем общий множитель \( (x+4) \) за скобки: \( (x+4)[(x-1)(x+4) - 6] = 0 \).
5. Раскроем скобки во втором множителе: \( (x+4)[x^2 + 4x - x - 4 - 6] = 0 \).
6. Упростим выражение во вторых скобках: \( (x+4)[x^2 + 3x - 10] = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \).
8. Корни квадратного уравнения: \( x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \).
9. Уравнение \( (x+4)[x^2 + 3x - 10] = 0 \) имеет три решения: \( x+4=0 \) или \( x^2+3x-10=0 \).
10. Таким образом, \( x = -4 \), \( x = 2 \) или \( x = -5 \).

Ответ: x = -4, x = 2, x = -5.