(x-2)(x²+6x+9)=6(x+3)

Решение:

1. Разложим квадратный трёхчлен \( x^2 + 6x + 9 \) на множители: \( x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 \).
2. Уравнение принимает вид: \( (x-2)(x+3)^2 = 6(x+3) \).
3. Перенесём все члены в левую часть: \( (x-2)(x+3)^2 - 6(x+3) = 0 \).
4. Вынесем общий множитель \( (x+3) \) за скобки: \( (x+3)[(x-2)(x+3) - 6] = 0 \).
5. Раскроем скобки во втором множителе: \( (x+3)[x^2 + 3x - 2x - 6 - 6] = 0 \).
6. Упростим выражение во вторых скобках: \( (x+3)[x^2 + x - 12] = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение \( x^2 + x - 12 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \).
8. Корни квадратного уравнения: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \).
9. Уравнение \( (x+3)[x^2 + x - 12] = 0 \) имеет три решения: \( x+3=0 \) или \( x^2+x-12=0 \).
10. Таким образом, \( x = -3 \), \( x = 3 \) или \( x = -4 \).

Ответ: x = -3, x = 3, x = -4.