(x−1)(x²+6x+9)=5(x+3)

Решение:

1. Разложим квадратный трёхчлен \( x^2 + 6x + 9 \) на множители: \( x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 \).
2. Уравнение принимает вид: \( (x-1)(x+3)^2 = 5(x+3) \).
3. Перенесём все члены в левую часть: \( (x-1)(x+3)^2 - 5(x+3) = 0 \).
4. Вынесем общий множитель \( (x+3) \) за скобки: \( (x+3)[(x-1)(x+3) - 5] = 0 \).
5. Раскроем скобки во втором множителе: \( (x+3)[x^2 + 3x - x - 3 - 5] = 0 \).
6. Упростим выражение во вторых скобках: \( (x+3)[x^2 + 2x - 8] = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение \( x^2 + 2x - 8 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \).
8. Корни квадратного уравнения: \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \).
9. Уравнение \( (x+3)[x^2 + 2x - 8] = 0 \) имеет три решения: \( x+3=0 \) или \( x^2+2x-8=0 \).
10. Таким образом, \( x = -3 \), \( x = 2 \) или \( x = -4 \).

Ответ: x = -3, x = 2, x = -4.