1109. Выясните, пересекаются ли прямая и гипербола. Если да, то найдите точки пересечения. а) прямая у = x + 1 и гипербола у 2; x' б) прямая у = -2x – 2 и гипербола у x.

а) y = x + 1 и y = 2/x

Решаем систему уравнений:

x + 1 = 2/x

x² + x = 2

x² + x - 2 = 0

D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

x₁ = (-1 + \(\sqrt{9}\)) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 1

x₂ = (-1 - \(\sqrt{9}\)) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -2

Проверим корни:

x = 1: y = 2/1 = 2 и y = 1 + 1 = 2 (подходит)

x = -2: y = 2/(-2) = -1 и y = -2 + 1 = -1 (подходит)

Прямая и гипербола пересекаются в точках (1; 2) и (-2; -1).

б) y = -2x - 2 и y = 1/x

Решаем систему уравнений:

-2x - 2 = 1/x

-2x² - 2x = 1

2x² + 2x + 1 = 0

D = 2² - 4 * 2 * 1 = 4 - 8 = -4

Так как дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет решений, а значит прямая и гипербола не пересекаются.