1108. Укажите область определения и найдите нули функции: a) y = x-√x+6 x+5 -; б) у 4x² + 25x = 2x - √10-6x

а) y = (x - \(\sqrt{x + 6}\)) / (x + 5)

Область определения:

• x + 6 ≥ 0 (подкоренное выражение должно быть неотрицательным)
• x + 5 ≠ 0 (знаменатель не должен быть равен нулю)

Решаем первое неравенство:

x ≥ -6

Решаем второе уравнение:

x ≠ -5

Область определения: x ∈ [-6; -5) ∪ (-5; +∞)

Нули функции:

(x - \(\sqrt{x + 6}\)) / (x + 5) = 0

x - \(\sqrt{x + 6}\) = 0

x = \(\sqrt{x + 6}\)

x² = x + 6

x² - x - 6 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = (-1)² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25

x₁ = (1 + \(\sqrt{25}\)) / 2 = (1 + 5) / 2 = 3

x₂ = (1 - \(\sqrt{25}\)) / 2 = (1 - 5) / 2 = -2

Проверим корни:

x = 3: 3 - \(\sqrt{3 + 6}\) = 3 - \(\sqrt{9}\) = 3 - 3 = 0 (подходит)

x = -2: -2 - \(\sqrt{-2 + 6}\) = -2 - \(\sqrt{4}\) = -2 - 2 = -4 ≠ 0 (не подходит)

Нули функции: x = 3 и x = -2

б) y = (4x² + 25x) / (2x - \(\sqrt{10 - 6x}\))

Область определения:

• 10 - 6x ≥ 0 (подкоренное выражение должно быть неотрицательным)
• 2x - \(\sqrt{10 - 6x}\) ≠ 0 (знаменатель не должен быть равен нулю)

Решаем первое неравенство:

10 - 6x ≥ 0

-6x ≥ -10

x ≤ 5/3

Решаем второе уравнение:

2x - \(\sqrt{10 - 6x}\) ≠ 0

2x ≠ \(\sqrt{10 - 6x}\)

4x² ≠ 10 - 6x

4x² + 6x - 10 ≠ 0

2x² + 3x - 5 ≠ 0

Решаем квадратное уравнение:

D = 3² - 4 * 2 * (-5) = 9 + 40 = 49

x₁ = (-3 + \(\sqrt{49}\)) / (2 * 2) = (-3 + 7) / 4 = 1

x₂ = (-3 - \(\sqrt{49}\)) / (2 * 2) = (-3 - 7) / 4 = -10 / 4 = -5/2 = -2,5

Проверим корни:

x = 1: 2 * 1 - \(\sqrt{10 - 6 * 1}\) = 2 - \(\sqrt{4}\) = 2 - 2 = 0 (не подходит)

x = -2,5: 2 * (-2,5) - \(\sqrt{10 - 6 * (-2,5)}\) = -5 - \(\sqrt{10 + 15}\) = -5 - \(\sqrt{25}\) = -5 - 5 = -10 ≠ 0 (подходит)

Итого, с учетом ограничения x ≤ 5/3 и условия 2x ≠ \(\sqrt{10 - 6x}\), область определения: x ∈ (-∞; -2,5) ∪ (-2,5; 5/3)

Нули функции:

(4x² + 25x) / (2x - \(\sqrt{10 - 6x}\)) = 0

4x² + 25x = 0

x(4x + 25) = 0

x = 0 или 4x + 25 = 0

x = 0 или x = -25/4 = -6,25

Проверим корни на принадлежность области определения:

x = 0: 2 * 0 - \(\sqrt{10 - 6 * 0}\) = 0 - \(\sqrt{10}\) ≠ 0 (подходит)

x = -6,25: x ≤ 5/3 = 1,66666. Число -6,25 принадлежит области определения (до -2,5)

Нули функции: x = -25/4 и x = 0