7. Выведите формулу для площади равностороннего треугольника со стороной а.(4 балла)

Решение:

Пошаговое решение:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны \( a \).
2. Высота в равностороннем треугольнике также является медианой и биссектрисой.
3. Найдем высоту \( h \) через теорему Пифагора: \[ h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 \] \[ h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \] \[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]
4. Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]

Ответ: \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)