11. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СЕ, СЕ = 12 см, ВЕ = 9 см, АК = 10 см. Найти площадь треугольника АВС. (4 балла)

Решение:

Пошаговое решение:

1. Площадь треугольника \( ABC \) можно найти через основание \( AB \) и высоту \( CE \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CE \]
2. \( CE = 12 \) см, \( AK = 10 \) см. Надо найти \( AB \). \( AB = AE + EB \), но \( AE \) неизвестно.
3. С другой стороны, площадь треугольника \( ABC \) можно найти через основание \( BC \) и высоту \( AK \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK \]
4. Приравняем две формулы площади: \[ \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK \] \[ AB \cdot CE = BC \cdot AK \] \[ AB \cdot 12 = BC \cdot 10 \] \[ AB = \frac{10}{12} BC = \frac{5}{6} BC \]
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( CEB \): \[ BC^2 = CE^2 + EB^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \] \[ BC = \sqrt{225} = 15 \] см.
6. Тогда \[ AB = \frac{5}{6} BC = \frac{5}{6} \cdot 15 = \frac{75}{6} = 12.5 \] см.
7. Площадь треугольника \( ABC \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 12.5 \cdot 12 = 12.5 \cdot 6 = 75 \] см².

Ответ: 75 см²