1151. Вычислите: a) (\frac{2}{3})^{-2}; б) (4·27)^{-1}; в) (-\frac{1}{8}·36)^{-2}; г) (-\frac{4}{9})^{-1}; д) (\frac{1}{2}·\frac{1}{3})^{-2}; e) (7·\frac{1}{4})^{-1}.

Решение:

1. a) \((\frac{2}{3})^{-2}\)
• Применяем свойство отрицательной степени: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) и свойство степени дроби: \((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\).
• \((\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}\)
2. б) \((4 \cdot 27)^{-1}\)
• Применяем свойство отрицательной степени: \(a^{-1} = \frac{1}{a}\).
• \((4 \cdot 27)^{-1} = \frac{1}{4 \cdot 27} = \frac{1}{108}\)
3. в) \((-\frac{1}{8} \cdot 36)^{-2}\)
• Сначала упростим выражение в скобках: \(-\frac{1}{8} \cdot 36 = -\frac{36}{8} = -\frac{9}{2}\)
• Применяем свойство отрицательной степени: \((-\frac{9}{2})^{-2} = (-\frac{2}{9})^{2} = \frac{4}{81}\)
4. г) \((-\frac{4}{9})^{-1}\)
• Применяем свойство отрицательной степени: \((-\frac{4}{9})^{-1} = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4}\)
5. д) \((\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})^{-2}\)
• Сначала упростим выражение в скобках: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)
• Применяем свойство отрицательной степени: \((\frac{1}{6})^{-2} = 6^{2} = 36\)
6. e) \((7 \cdot \frac{1}{4})^{-1}\)
• Сначала упростим выражение в скобках: \(7 \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{4}\)
• Применяем свойство отрицательной степени: \((\frac{7}{4})^{-1} = \frac{4}{7}\)

Ответ: a) \(2\frac{1}{4}\); б) \(\frac{1}{108}\); в) \(\frac{4}{81}\); г) \(-2\frac{1}{4}\); д) \(36\); e) \(\frac{4}{7}\)