1157. Найдите значение m, зная, что верно равенство: a) 5ᵐ·5ᵐ⁺¹ = 125; б) 5ᵐ·5ᵐ⁺¹ = 5⁷; в) 5ᵐ·5ᵐ⁺¹ = 5⁻⁷; г) 5²ᵐ·5ᵐ⁺² = 25⁷; д) 5²ᵐ·25²ᵐ⁺¹ = 25⁴; e) 125ᵐ·5ᵐ⁺³ = 125⁵.

Решение:

1. a) \(5^m \cdot 5^{m+1} = 125\)
• \(5^m \cdot 5^{m+1} = 5^{2m+1}\) и \(125 = 5^3\).
• \(5^{2m+1} = 5^3\), значит, \(2m+1 = 3\), \(2m = 2\), \(m = 1\).
2. б) \(5^m \cdot 5^{m+1} = 5^7\)
• \(5^{2m+1} = 5^7\), значит, \(2m+1 = 7\), \(2m = 6\), \(m = 3\).
3. в) \(5^m \cdot 5^{m+1} = 5^{-7}\)
• \(5^{2m+1} = 5^{-7}\), значит, \(2m+1 = -7\), \(2m = -8\), \(m = -4\).
4. г) \(5^{2m} \cdot 5^{m+2} = 25^7\)
• \(5^{3m+2} = (5^2)^7 = 5^{14}\), значит, \(3m+2 = 14\), \(3m = 12\), \(m = 4\).
5. д) \(5^{2m} \cdot 25^{2m+1} = 25^4\)
• \(5^{2m} \cdot (5^2)^{2m+1} = (5^2)^4\), \(5^{2m} \cdot 5^{4m+2} = 5^8\), \(5^{6m+2} = 5^8\), значит, \(6m+2 = 8\), \(6m = 6\), \(m = 1\).
6. e) \(125^m \cdot 5^{m+3} = 125^5\)
• \((5^3)^m \cdot 5^{m+3} = (5^3)^5\), \(5^{3m} \cdot 5^{m+3} = 5^{15}\), \(5^{4m+3} = 5^{15}\), значит, \(4m+3 = 15\), \(4m = 12\), \(m = 3\).

Ответ: a) \(m=1\); б) \(m=3\); в) \(m=-4\); г) \(m=4\); д) \(m=1\); e) \(m=3\)