4. Вычислите значение sin2x, если cosx = 1/2 и 3π/2<x<2 п

Пошаговое решение:

• Угол \( x \) находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, а косинус положителен.
• Найдем \( sin(x) \) используя основное тригонометрическое тождество: \[ sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \]
• Подставим известное значение косинуса: \[ sin^2(x) + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \]
• Вычислим квадрат косинуса: \[ sin^2(x) + \frac{1}{4} = 1 \]
• Найдем квадрат синуса: \[ sin^2(x) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]
• Извлечем квадратный корень, учитывая, что синус отрицателен в четвертой четверти: \[ sin(x) = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
• Теперь найдем \( sin(2x) \) используя формулу двойного угла: \[ sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} \]
• Вычислим значение: \[ sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Ответ: sin2x = -√3/2