Вычислить интегралы: 8. ∫ (4x - 5) · sin x dx.

Решение:

Этот интеграл является интегралом от произведения двух функций. Используем интегрирование по частям по формуле \( \int u dv = uv - \int v du \).

Пусть \( u = 4x - 5 \) и \( dv = \sin x dx \).

Тогда \( du = 4 dx \) и \( v = \int \sin x dx = -\cos x \).

Применяем формулу:

\[ \int (4x - 5) \sin x dx = (4x - 5)(-\cos x) - \int (-\cos x)(4 dx) \]

\[ = -(4x - 5)\cos x + 4 \int \cos x dx \]

\[ = -(4x - 5)\cos x + 4 \sin x + C \]

\[ = -4x \cos x + 5 \cos x + 4 \sin x + C \]

Ответ: \( -4x \cos x + 5 \cos x + 4 \sin x + C \).