Вычислить интегралы: 5. ∫ ⁶√(3x + 1) dx.

Решение:

Запишем корень в виде степени: \( \sqrt[6]{3x+1} = (3x+1)^{1/6} \).

Используем формулу интеграла от степенной функции \( \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \) и метод замены переменной.

Пусть \( t = 3x + 1 \). Тогда \( dt = 3 dx \), следовательно \( dx = \frac{1}{3} dt \).

\[ \int \sqrt[6]{3x+1} dx = \int (3x+1)^{1/6} dx \]

\[ = \int t^{1/6} \frac{1}{3} dt \]

\[ = \frac{1}{3} \int t^{1/6} dt \]

\[ = \frac{1}{3} \frac{t^{1/6 + 1}}{1/6 + 1} + C \]

\[ = \frac{1}{3} \frac{t^{7/6}}{7/6} + C \]

\[ = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} t^{7/6} + C \]

\[ = \frac{2}{7} t^{7/6} + C \]

Подставляем обратно \( t = 3x + 1 \):

\[ = \frac{2}{7} (3x+1)^{7/6} + C \]

Ответ: \( \frac{2}{7} (3x+1)^{7/6} + C \).