Вычислить интегралы: 2. ∫ (3/sin²x + 5/(x²+16) - 7^x) dx.

Решение:

Воспользуемся свойствами интегралов и табличными интегралами:

• \( \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C \)
• \( \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \left(\frac{x}{a}\right) + C \)
• \( \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \)

Применим эти формулы к нашему интегралу:

\[ \int \left(\frac{3}{\sin^2 x} + \frac{5}{x^2 + 16} - 7^x\right) dx = 3 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx + 5 \int \frac{1}{x^2 + 4^2} dx - \int 7^x dx \]

\[ = 3(-\cot x) + 5 \left(\frac{1}{4} \arctan \left(\frac{x}{4}\right)\right) - \frac{7^x}{\ln 7} + C \]

\[ = -3\cot x + \frac{5}{4} \arctan \left(\frac{x}{4}\right) - \frac{7^x}{\ln 7} + C \]

Ответ: \( -3\cot x + \frac{5}{4} \arctan \left(\frac{x}{4}\right) - \frac{7^x}{\ln 7} + C \).