Вычислить интегралы: 4. ∫ e⁸ˣ dx.

Решение:

Используем формулу интеграла от показательной функции \( \int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C \).

Пусть \( t = 8x \). Тогда \( dt = 8 dx \), следовательно \( dx = \frac{1}{8} dt \).

\[ \int e^{8x} dx = \int e^t \frac{1}{8} dt \]

\[ = \frac{1}{8} \int e^t dt \]

\[ = \frac{1}{8} e^t + C \]

Подставляем обратно \( t = 8x \):

\[ = \frac{1}{8} e^{8x} + C \]

Ответ: \( \frac{1}{8} e^{8x} + C \).