9. В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках А и В. На одной из дуг этой окружности выбрали точку С так, как показано на рисунке. Найдите величину угла АСВ.

Ответ: 125 градусов

Решение:

1) Рассмотрим четырехугольник \(AO_1BO\), где \(O_1\) - центр окружности. Сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусам. Углы \(O_1AO\) и \(O_1BO\) прямые, так как радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Следовательно:

\[\angle AO_1B = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}\]

2) Угол \(AO_1B\) является центральным, и он опирается на дугу \(AB\). Вписанный угол \(ACB\) опирается на ту же дугу, но находится по другую сторону от центра. Угол \(AO_1B\) и угол, который опирается на большую дугу \(AB\) в сумме дают 360 градусов, значит большая дуга равна 360 - 110 = 250 градусов.

3) Угол \(ACB\) является вписанным углом, опирающимся на большую дугу \(AB\), он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается:

\[\angle ACB = \frac{250^{\circ}}{2} = 125^{\circ}\]

Ответ: 125 градусов