3. В тупоугольном треугольнике АВС АС = ВС, высота АН равна 7, СН = 24. Найдите sinACB.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. По теореме Пифагора найдем AC: \[AC^2 = AH^2 + CH^2\] \[AC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\] \[AC = \sqrt{625} = 25\]
2. Так как AC = BC, то BC = 25.
3. Рассмотрим треугольник ABC. По теореме косинусов найдем cos(ACB): \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(ACB)\]
4. Выразим AB через AH и BH. BH = BC + CH = 25 + 24 = 49. В прямоугольном треугольнике ABH: \[AB^2 = AH^2 + BH^2 = 7^2 + 49^2 = 49 + 2401 = 2450\]
5. Подставим известные значения в теорему косинусов: \[2450 = 25^2 + 25^2 - 2 \cdot 25 \cdot 25 \cdot \cos(ACB)\] \[2450 = 625 + 625 - 1250 \cdot \cos(ACB)\] \[2450 = 1250 - 1250 \cdot \cos(ACB)\] \[1200 = -1250 \cdot \cos(ACB)\] \[\cos(ACB) = \frac{1200}{-1250} = -\frac{24}{25}\]
6. Найдем sin(ACB), зная cos(ACB). Используем основное тригонометрическое тождество: \[sin^2(ACB) + cos^2(ACB) = 1\] \[sin^2(ACB) = 1 - cos^2(ACB) = 1 - (-\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{625 - 576}{625} = \frac{49}{625}\] Так как угол тупой, синус положительный: \[sin(ACB) = \sqrt{\frac{49}{625}} = \frac{7}{25}\]

Ответ: \(\frac{7}{25}\)