28. В треугольнике АВС угол C равен 90°, COSA = \frac{\sqrt{5}}{5}, ВС = 5. Найдите АC.

Смотри, как это работает:

Шаг 1: Запишем определение косинуса угла A.

\[cos A = \frac{AC}{AB}\]

Шаг 2: Выразим AC через cos A и AB.

\[AC = AB \cdot cos A\]

Шаг 3: Выразим AB через BC и cos A.

Известно, что \(cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}\). Тогда \(\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}\). Выразим AB.

\[AB = \frac{AC}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{5AC}{\sqrt{5}}\]

Шаг 4: Используем теорему Пифагора.

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

\[\left(\frac{5AC}{\sqrt{5}}\right)^2 = AC^2 + 5^2\]

\[\frac{25AC^2}{5} = AC^2 + 25\]

\[5AC^2 = AC^2 + 25\]

\[4AC^2 = 25\]

\[AC^2 = \frac{25}{4}\]

\[AC = \frac{5}{2} = 2.5\]

Шаг 5: Найдем AB.

\[AB = \frac{5 \cdot 2.5}{\sqrt{5}} = \frac{12.5}{\sqrt{5}} = \frac{12.5 \sqrt{5}}{5} = 2.5 \sqrt{5}\]

Другой способ:

Известно, что \(cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}\), тогда \(\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}\). Значит \(AC = AB \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}\)

Тогда \(\frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{5}\), \(\frac{AC}{5} = \frac{\sqrt{5}}{5}\), \(AC = 10\)

Ответ: 10