4. В треугольнике АВС угол C равен 90°, cos A = \frac{4}{5}, BC = 3, CH — высота. Найдите АН.

1. В прямоугольном треугольнике ABC cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}.
2. Найдем гипотенузу AB из теоремы Пифагора: \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] Выразим AC через AB: \[AC = \frac{4}{5}AB\] Подставим в теорему Пифагора: \[AB^2 = (\frac{4}{5}AB)^2 + BC^2\] \[AB^2 = \frac{16}{25}AB^2 + 3^2\] \[AB^2 - \frac{16}{25}AB^2 = 9\] \[\frac{9}{25}AB^2 = 9\] \[AB^2 = 25\] \[AB = 5\]
3. Найдем AC: \[AC = \frac{4}{5}AB = \frac{4}{5} \cdot 5 = 4\]
4. В прямоугольном треугольнике ABC высота CH является проекцией катета AC на гипотенузу AB. Тогда: \[AC^2 = AH \cdot AB\] \[AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5} = 3.2\]

Ответ: 3.2