1. В треугольнике ABC ∠A = 45°, BC = 10 см, а высота BD делит сторону АС на отрезки AD = 6 см, DC = 8 см. Найдите площадь тре- угольника и высоту, проведенную к стороне ВС.

Дано: треугольник ABC, ∠A = 45°, BC = 10 см, BD - высота, AD = 6 см, DC = 8 см.

Найти: площадь треугольника ABC и высоту, проведенную к стороне BC.

1) Найдем сторону AC: AC = AD + DC = 6 + 8 = 14 см.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Выразим высоту BD через тангенс угла A:

$$tg(A) = \frac{BD}{AD}$$ $$tg(45^\circ) = \frac{BD}{6}$$ $$1 = \frac{BD}{6}$$ $$BD = 6 \text{ см}$$

3) Найдем площадь треугольника ABC:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$ $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 6$$ $$S_{ABC} = 7 \cdot 6$$ $$S_{ABC} = 42 \text{ см}^2$$

4) Найдем высоту, проведенную к стороне BC. Обозначим ее за AE.

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AE$$ $$42 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AE$$ $$42 = 5 \cdot AE$$ $$AE = \frac{42}{5}$$ $$AE = 8.4 \text{ см}$$

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 42 см², высота, проведенная к стороне BC, равна 8.4 см.