6. В равнобедренной трапеции основания равны 6 и 12, а один из углов 45°. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC = 6 и AD = 12. Угол BAD = 45°.

Проведем высоты BH и CK. Тогда AH = KD = (AD - BC) / 2 = (12 - 6) / 2 = 3.

В прямоугольном треугольнике ABH угол BAH = 45°, следовательно, угол ABH = 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник ABH равнобедренный, и BH = AH = 3.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH$$

Подставим известные значения:

$$S = \frac{6 + 12}{2} \cdot 3 = \frac{18}{2} \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$$

Ответ: 27