120 В равнобедренном треугольнике АВС с проведена медиана BD. На сторонах АВ И С ответственно точки Е и F так, что АЕ = CF. a) ABDE = ∆BDF; б) △ADE = ACDF.

а) Рассмотрим треугольник ABC. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то AB = BC, ∠BAC = ∠BCA.

BD - медиана, проведенная к основанию AC равнобедренного треугольника, следовательно, BD является высотой и биссектрисой. Значит, ∠ADB = 90° и ∠ABD = ∠CBD.

Так как AE = CF, то BE = BF (т.к. BE = AB - AE и BF = BC - CF, AB = BC).

Рассмотрим треугольники ΔBDE и ΔBDF. BD - общая сторона, BE = BF, ∠ABD = ∠CBD. Следовательно, ΔBDE = ΔBDF по двум сторонам и углу между ними.

б) Рассмотрим треугольники ΔADE и ΔCDF. Так как ΔBDE = ΔBDF, то DE = DF и ∠AED = ∠CFD. AE = CF (по условию). ∠DAE = 180° - ∠AED, ∠DCF = 180° - ∠CFD, значит, ∠DAE = ∠DCF.

Тогда ΔADE = ΔCDF по двум сторонам и углу между ними (AE = CF, ∠DAE = ∠DCF, DE = DF).

Ответ: а) ΔBDE = ΔBDF, что и требовалось доказать; б) ΔADE = ΔCDF, что и требовалось доказать.