118 Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой в. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой ь, равны. Точка О – середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите ∠NOM, если ∠МОР = 105°.

а) Рассмотрим треугольники MNO и PQO. MN = PQ по условию. ∠MNO = ∠PQO = 90°, так как MN и PQ - перпендикуляры к прямой b. NO = QO, так как O - середина NQ. Следовательно, треугольники MNO и PQO равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов. MO = PO, ∠MON = ∠POQ. Треугольник MOP - равнобедренный, так как MO = PO. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠OMP = ∠OPM.

б) Так как ∠OMP = ∠OPM, обозначим их как y. Тогда в треугольнике MOP: ∠MOP + ∠OMP + ∠OPM = 180°.

По условию, ∠MOP = 105°. Получаем уравнение: 105° + y + y = 180°.

2y = 180° - 105° = 75°.

y = 75° / 2 = 37,5°.

∠OMP = ∠OPM = 37,5°.

Так как треугольники MNO и PQO равны, то ∠NOM = ∠QOP. Обозначим ∠NOM = z.

В треугольнике MNO: ∠MNO + ∠NOM + ∠NMO = 180°.

90° + z + ∠NMO = 180°.

∠NMO = 90° - z.

∠NMO = ∠PMO + ∠OMP. Так как ∠OMP = 37.5, то ∠PMO = ∠NMO - ∠OMP = (90-z) -37.5

С другой стороны, сумма смежных углов ∠MOP и ∠MON равна 180°, значит ∠MON = 180-105 = 75

В таком случае ∠NOM = ∠POQ = (180- ∠MOP)/2 = (180 - 105)/2= 37,5 градуса

Ответ: а) доказано, ∠OMP = ∠OPM; б) ∠NOM = 37,5°