120 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены ответственно точки Е и F так, что АЕ = CF. Докажите, ч a) ABDE = ABDF; 6) △ADE = ACDF.

а) Докажем, что ΔBDE = ΔBDF:

1. Т.к. треугольник ABC - равнобедренный, то AB = BC и ∠A = ∠C.
2. BD - медиана, следовательно, AD = CD.
3. Т.к. BD - медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, то BD также является высотой и биссектрисой. Следовательно, BD ⊥ AC и ∠ABD = ∠CBD.
4. Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔCBD:
5. AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника), AD = CD (т.к. BD - медиана), BD - общая сторона.
6. Следовательно, ΔABD = ΔCBD (по трем сторонам).
7. Тогда ∠ADB = ∠CDB = 90°.
8. AE = CF (по условию).
9. BE = AB - AE, BF = BC - CF.
10. Т.к. AB = BC и AE = CF, то BE = BF.
11. Рассмотрим треугольники ΔBDE и ΔBDF:
12. BD - общая сторона, BE = BF, ∠EBD = ∠FBD (т.к. BD - биссектриса).
13. Следовательно, ΔBDE = ΔBDF (по двум сторонам и углу между ними).

б) Докажем, что ΔADE = ΔCDF:

1. AD = CD (т.к. BD - медиана).
2. AE = CF (по условию).
3. ∠A = ∠C (как углы при основании равнобедренного треугольника).
4. Следовательно, ΔADE = ΔCDF (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: a) ΔBDE = ΔBDF доказано, б) ΔADE = ΔCDF доказано.