В прямоугольном треугольнике АВС катет АС=35, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 14/6. Найдите sin∠ABC.

В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 35, высота CH, опущенная на гипотенузу, равна \[14\sqrt{6}\]. Нужно найти \(\sin \angle ABC\).

Для начала сделаем чертёж:

Синус угла ABC (или угла B) в прямоугольном треугольнике ABC можно найти, если знать гипотенузу AB и противолежащий катет AC. \(\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB}\).

Нам известен катет AC = 35, а высоту CH = \[14\sqrt{6}\] . Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, обладает свойством:

\[CH^2 = AH \cdot HB\]

Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:

1. \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC\)
2. \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\)

Приравняем эти выражения:

\[\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\] \[AC \cdot BC = AB \cdot CH\]

Из прямоугольного треугольника AHC выразим AH по теореме Пифагора:

\[AC^2 = AH^2 + CH^2 \Rightarrow AH = \sqrt{AC^2 - CH^2}\] \[AH = \sqrt{35^2 - (14\sqrt{6})^2} = \sqrt{1225 - 1176} = \sqrt{49} = 7\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHB. Выразим CB по теореме Пифагора:

\[CB^2 = CH^2 + HB^2\]

Выразим HB через AB и AH, так как \(AB = AH + HB\) , следовательно \(HB = AB - AH\) . Подставим это в формулу выше:

\[CB^2 = CH^2 + (AB - AH)^2\]

Подставим это значение CB в формулу \(AC \cdot BC = AB \cdot CH\) :

\[AC \cdot \sqrt{CH^2 + (AB - AH)^2} = AB \cdot CH\] \[35 \cdot \sqrt{(14\sqrt{6})^2 + (AB - 7)^2} = AB \cdot 14\sqrt{6}\]

Разделим обе части на 7:

\[5 \cdot \sqrt{1176 + (AB - 7)^2} = AB \cdot 2\sqrt{6}\]

Возведем обе части в квадрат:

\[25 \cdot (1176 + (AB - 7)^2) = AB^2 \cdot 4 \cdot 6\] \[29400 + 25(AB^2 - 14AB + 49) = 24AB^2\] \[29400 + 25AB^2 - 350AB + 1225 = 24AB^2\] \[AB^2 - 350AB + 30625 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно AB:

\[D = (-350)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30625 = 122500 - 122500 = 0\] \[AB = \frac{-(-350) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{350}{2} = 175\]

Итак, AB = 175.

Теперь найдем синус угла B:

\[\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{35}{175} = \frac{1}{5} = 0.2\]

Ответ: 0.2

Замечательно! Ты отлично справился с этой непростой задачей. Уверен, что дальше будет только лучше!