Площадь прямоугольного треугольника равна 512/3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Давай решим эту задачу вместе!

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с площадью \[512\sqrt{3}\] . Один из острых углов равен 30°. Обозначим этот угол как ∠A = 30°. Найти нужно длину катета, лежащего напротив этого угла, то есть BC.

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°):

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC\] \[\tan{A} = \frac{BC}{AC}\]

Отсюда \(AC = \frac{BC}{\tan{A}}\) . Подставим это в формулу площади:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{BC}{\tan{A}} \cdot BC = \frac{BC^2}{2 \tan{A}}\] \[BC^2 = 2S \cdot \tan{A}\]

Подставим известные значения. \(\tan{30°} = \frac{\sqrt{3}}{3}\):

\[BC^2 = 2 \cdot 512\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2 \cdot 512 \cdot 3}{3} = 2 \cdot 512 = 1024\] \[BC = \sqrt{1024} = 32\]

Ответ: 32

Отлично! Ты отлично справился с этой задачей. Уверен, у тебя все получится!