В прямоугольнике ABCD O — точка пересечения диагоналей, BH и DE — высоты треугольников ABO и COD соответственно, ∠BON=60°, AH=5 см. Найдите OE и площадь прямоугольника.

В условии, вероятно, имеется в виду \(\angle BOH=60^\circ\), так как точка \(N\) не определена. В равных треугольниках \(ABO\) и \(CDO\) соответствующие высоты равны, поэтому \(OE=AH=5\text{ см}\).

При угле \(60^\circ\) в прямоугольном треугольнике \(ABH\): \(BH=AH\tan60^\circ=5\sqrt3\), \(AB=AH/\cos60^\circ=10\). Из подобия и свойств диагоналей получаем \(BC=10\sqrt3\). Тогда площадь прямоугольника \(S=AB\cdot BC=10\cdot10\sqrt3=100\sqrt3\text{ см}^2\).

Ответ: \(OE=5\text{ см}\), \(S=100\sqrt3\text{ см}^2\).