Диаметр CD окружности с центром в точке O пересекается с хордой AB в точке K, OK=5 см. Расстояние от центра окружности до хорды равно 4 см. Найдите радиус окружности и отрезки, на которые точка K делит хорду, если длина хорды равна 16 см.

Для пересекающихся хорд применяем теорему: \(KA\cdot KB=KC\cdot KD\). Сначала найдём радиус. Расстояние от центра до хорды равно 4 см, а \(OK=5\text{ см}\). В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом к концу хорды, половина хорды равна \(8\text{ см}\): \(R^2=4^2+8^2=80\), поэтому \(R=4\sqrt5\text{ см}\).

Так как \(K\) находится внутри диаметра, \(KC=R-OK=4\sqrt5-5\), \(KD=R+OK=4\sqrt5+5\). Тогда \(KC\cdot KD=R^2-OK^2=80-25=55\).

Пусть \(KA=x\), тогда \(KB=16-x\). Получаем \(x(16-x)=55\), то есть \(x^2-16x+55=0\). Корни: \(x=5\) и \(x=11\).

Ответ: \(R=4\sqrt5\text{ см}\); отрезки хорды равны \(5\text{ см}\) и \(11\text{ см}\).