Уровень В. В5. Дана функция f(x) = x³-3x + 2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции.

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \), необходимо найти её производную, приравнять к нулю, найти критические точки и определить знак производной на интервалах.

1. Найдём производную функции: \( f'(x) = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 3 = 0 \).
3. Решим уравнение: \( 3x^2 = 3 \), \( x^2 = 1 \), \( x = \pm 1 \).
4. Критические точки: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 1 \).
5. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \) и \( (1, +\infty) \).
6. Определим знак производной на каждом интервале:
• На \( (-\infty, -1) \), выберем \( x = -2 \): \( f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• На \( (-1, 1) \), выберем \( x = 0 \): \( f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• На \( (1, +\infty) \), выберем \( x = 2 \): \( f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
7. Итак, функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (1, +\infty) \), а убывает на интервале \( (-1, 1) \).

Ответ: Возрастает на \( (-\infty, -1) \) и \( (1, +\infty) \), убывает на \( (-1, 1) \).