Уровень С. С6. Исследуйте с помощью производной функцию f(x) = x² - 3x + 1 и постройте её график.

Исследование функции \( f(x) = x^2 - 3x + 1 \)

1. Область определения:

Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: \( D(f) = (-\infty, +\infty) \).

2. Точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy: При \( x = 0 \), \( f(0) = 0^2 - 3(0) + 1 = 1 \). Точка пересечения: (0; 1).
• С осью Ox: При \( f(x) = 0 \), \( x^2 - 3x + 1 = 0 \). Найдём дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{5} \). Корни: \( x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \) и \( x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \). Оба корня положительные (приблизительно \( \frac{3 - 2.236}{2} \approx 0.382 \) и \( \frac{3 + 2.236}{2} \approx 2.618 \)).

3. Интервалы монотонности и экстремумы:

1. Найдём производную: \( f'(x) = (x^2 - 3x + 1)' = 2x - 3 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 2x - 3 = 0 \), \( x = 1.5 \). Это критическая точка.
3. Определим знаки производной:
• На \( (-\infty, 1.5) \), \( f'(0) = -3 < 0 \) — функция убывает.
• На \( (1.5, +\infty) \), \( f'(2) = 2(2) - 3 = 1 > 0 \) — функция возрастает.
4. Следовательно, при \( x = 1.5 \) функция имеет минимум.
5. Найдем значение функции в точке минимума: \( f(1.5) = (1.5)^2 - 3(1.5) + 1 = 2.25 - 4.5 + 1 = -1.25 \). Точка минимума: (1.5; -1.25).

4. Выпуклость и точки перегиба:

1. Найдём вторую производную: \( f''(x) = (2x - 3)' = 2 \).
2. Так как \( f''(x) = 2 > 0 \) для всех \( x \), функция является выпуклой вниз (вогнутой) на всей области определения. Точек перегиба нет.

5. Построение графика:

График функции \( y = x^2 - 3x + 1 \) — парабола с вершиной в точке (1.5; -1.25), ветвями, направленными вверх. Она пересекает ось Oy в точке (0; 1) и ось Ox в точках \( (\frac{3 - \sqrt{5}}{2}; 0) \) и \( (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; 0) \).

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке (1.5; -1.25), возрастает на \( (1.5, +\infty) \), убывает на \( (-\infty, 1.5) \), выпукла вниз.