Уровень А. А4. Точкой минимума функции f(x) = 16x³ + 81x² - 21х - 5 является... A. 1/8 Б.2,5. B.-3. Γ.-1.

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции \( f(x) = 16x^3 + 81x^2 - 21x - 5 \), необходимо найти её производную, приравнять к нулю и проанализировать знаки производной.

1. Найдём производную функции: \( f'(x) = (16x^3 + 81x^2 - 21x - 5)' = 48x^2 + 162x - 21 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 48x^2 + 162x - 21 = 0 \).
3. Можно упростить уравнение, разделив на 3: \( 16x^2 + 54x - 7 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):
• \( D = (54)^2 - 4(16)(-7) = 2916 + 448 = 3364 \).
• \( \sqrt{D} = \sqrt{3364} = 58 \).
5. Найдем корни уравнения:
• \( x_1 = \frac{-54 - 58}{2 \times 16} = \frac{-112}{32} = -\frac{112}{32} = -\frac{14}{4} = -3.5 \).
• \( x_2 = \frac{-54 + 58}{2 \times 16} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \).
6. Теперь определим, какая из этих точек является точкой минимума. Для этого найдём вторую производную: \( f''(x) = (48x^2 + 162x - 21)' = 96x + 162 \).
7. Проверим знак второй производной в каждой критической точке:
• При \( x_1 = -3.5 \): \( f''(-3.5) = 96(-3.5) + 162 = -336 + 162 = -174 \). Так как \( f''(-3.5) < 0 \), это точка максимума.
• При \( x_2 = 1/8 \): \( f''(1/8) = 96(1/8) + 162 = 12 + 162 = 174 \). Так как \( f''(1/8) > 0 \), это точка минимума.

Ответ: A. 1/8