Уровень А. А1. Сколько интервалов возрастания имеет функция f(x) = x³-3x²? A. 1. Б. Ни одного. B. 2. Γ. 3

Решение:

Для определения интервалов возрастания функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 \), необходимо найти её производную и приравнять к нулю.

1. Найдём производную функции: \( f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 6x = 0 \).
3. Вынесем общий множитель \( 3x \): \( 3x(x - 2) = 0 \).
4. Отсюда получаем две критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \).
5. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \) и \( (2, +\infty) \).
6. Определим знак производной на каждом интервале:
• На \( (-\infty, 0) \), выберем \( x = -1 \): \( f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• На \( (0, 2) \), выберем \( x = 1 \): \( f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• На \( (2, +\infty) \), выберем \( x = 3 \): \( f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
7. Таким образом, функция возрастает на двух интервалах: \( (-\infty, 0) \) и \( (2, +\infty) \).

Ответ: Γ. 3