15. Тип 15 № 339389 Высота равностороннего треугольника равна 15/3. Найдите его периметр.

Высота равностороннего треугольника, проведенная к основанию, является и медианой, и биссектрисой. Высота делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна a. Тогда половина стороны равна a/2.

По теореме Пифагора:

$$(\frac{a}{2})^2 + h^2 = a^2$$

$$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$$

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Высота равна $$ \frac{15}{\sqrt{3}}$$, приравняем:

$$\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{\sqrt{3}}$$ $$a\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 30$$ $$3a = 30$$ $$a = 10$$

Периметр равностороннего треугольника равен:

$$P = 3a = 3 \cdot 10 = 30$$

Ответ: 30