487. Тело брошено вертикально вверх с поверхности земли. Во сколько раз скорость движения тела на высоте, составляющей \(\frac{8}{9}\) максимальной высоты подъема, меньше начальной скорости?

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии. 1. Определим максимальную высоту подъема: - Максимальная высота: $$h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$$, где $$v_0$$ - начальная скорость. 2. Высота, на которой рассматривается скорость: - $$h = \frac{8}{9}h_{max} = \frac{8}{9} \cdot \frac{v_0^2}{2g} = \frac{4v_0^2}{9g}$$ 3. Закон сохранения энергии: - В начальный момент: $$E = \frac{1}{2}mv_0^2$$ - На высоте h: $$E = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$$, где v - скорость на высоте h. 4. Приравняем энергии: - $$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$$ - $$\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v^2 + gh$$ - $$v_0^2 = v^2 + 2gh$$ 5. Подставим выражение для h: - $$v_0^2 = v^2 + 2g \cdot \frac{4v_0^2}{9g} = v^2 + \frac{8}{9}v_0^2$$ - $$v^2 = v_0^2 - \frac{8}{9}v_0^2 = \frac{1}{9}v_0^2$$ - $$v = \sqrt{\frac{1}{9}v_0^2} = \frac{1}{3}v_0$$ 6. Отношение начальной скорости к скорости на высоте h: - $$\frac{v_0}{v} = \frac{v_0}{\frac{1}{3}v_0} = 3$$ Ответ: 3