6. Сократить дробь: a2-a a-2a2+1

Сократим дробь:

$$\frac{a^2-a}{a-2a^2+1} = \frac{a(a-1)}{-2a^2+a+1} = \frac{a(a-1)}{-(2a^2-a-1)}$$

Разложим квадратный трехчлен $$2a^2-a-1$$ на множители. Найдем корни уравнения $$2a^2-a-1 = 0$$.

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

$$a_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

$$a_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1-3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Тогда $$2a^2-a-1 = 2(a-1)(a+\frac{1}{2}) = (a-1)(2a+1)$$

Вернемся к дроби:

$$\frac{a(a-1)}{-(2a^2-a-1)} = \frac{a(a-1)}{-(a-1)(2a+1)} = \frac{a}{-(2a+1)} = -\frac{a}{2a+1}$$

Ответ: $$\frac{-a}{2a+1}$$