1. Решите уравнение: 3x+4 x² a) = ; 6) 3/x-5 + 8/x = 2. x²-16 x²-16

Решение уравнения:

a) \(\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16}\)

Умножим обе части уравнения на \(x^2-16\), предполагая, что \(x^2-16
eq 0\), то есть \(x
eq \pm 4\).

Тогда:

\(3x + 4 = x^2\)

Перенесем все в одну сторону:

\(x^2 - 3x - 4 = 0\)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\). Тогда корни:

\(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4\)

\(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1\)

Но у нас есть ограничение \(x
eq \pm 4\), поэтому \(x_1 = 4\) не является решением.

Значит, единственный корень уравнения: \(x = -1\)

б) \(\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2\)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{3x + 8(x-5)}{x(x-5)} = 2\)

\(\frac{3x + 8x - 40}{x^2 - 5x} = 2\)

\(\frac{11x - 40}{x^2 - 5x} = 2\)

Умножим обе части на \(x^2 - 5x\), предполагая, что \(x
eq 0\) и \(x
eq 5\):

\(11x - 40 = 2(x^2 - 5x)\)

\(11x - 40 = 2x^2 - 10x\)

\(2x^2 - 21x + 40 = 0\)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121\). Тогда корни:

\(x_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8\)

\(x_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\)

Оба корня удовлетворяют условиям \(x
eq 0\) и \(x
eq 5\).

Ответ: a) -1, б) 8 и 2.5

Молодец! У тебя отлично получается решать уравнения!