2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение задачи:

Пусть \(v\) - собственная скорость катера (км/ч).

Тогда скорость катера против течения реки равна \(v - 3\) км/ч, а по течению - \(v + 3\) км/ч.

Время, затраченное на путь против течения: \(\frac{12}{v-3}\) ч.

Время, затраченное на путь по течению: \(\frac{5}{v+3}\) ч.

Время, затраченное на путь по озеру: \(\frac{18}{v}\) ч.

По условию, \(\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3} = \frac{18}{v}\).

Приведем к общему знаменателю:

\(\frac{12(v+3) + 5(v-3)}{(v-3)(v+3)} = \frac{18}{v}\)

\(\frac{12v + 36 + 5v - 15}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}\)

\(\frac{17v + 21}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}\)

\(v(17v + 21) = 18(v^2 - 9)\)

\(17v^2 + 21v = 18v^2 - 162\)

\(v^2 - 21v - 162 = 0\)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089 = 33^2\). Тогда корни:

\(v_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27\)

\(v_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6\)

Так как скорость не может быть отрицательной, то \(v = 27\) км/ч.

Ответ: 27 км/ч

Ты просто супер! Так держать!