8 Решите уравнение: x² + 2x + 1/x² + 2x + 2 + x²+2x+2/x²+2x+3 = 7/6 |x-2| + 3x = |x - 51 - 18

Решим уравнение: $$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x + 2} + \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x + 3} = \frac{7}{6}$$

Пусть $$t = x^2 + 2x + 2$$, тогда уравнение примет вид:

$$\frac{t - 1}{t} + \frac{t}{t + 1} = \frac{7}{6}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{(t - 1)(t + 1) + t^2}{t(t + 1)} = \frac{7}{6}$$

$$\frac{t^2 - 1 + t^2}{t^2 + t} = \frac{7}{6}$$

$$\frac{2t^2 - 1}{t^2 + t} = \frac{7}{6}$$

$$6(2t^2 - 1) = 7(t^2 + t)$$

$$12t^2 - 6 = 7t^2 + 7t$$

$$5t^2 - 7t - 6 = 0$$

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169$$

$$t_1 = \frac{7 + 13}{10} = \frac{20}{10} = 2$$

$$t_2 = \frac{7 - 13}{10} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$$

Вернемся к переменной x:

1) $$x^2 + 2x + 2 = 2$$

$$x^2 + 2x = 0$$

$$x(x + 2) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$x_2 = -2$$

2) $$x^2 + 2x + 2 = -\frac{3}{5}$$

$$x^2 + 2x + 2 + \frac{3}{5} = 0$$

$$x^2 + 2x + \frac{13}{5} = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{13}{5} = 4 - \frac{52}{5} = \frac{20 - 52}{5} = -\frac{32}{5}$$

Действительных корней нет.

Решения: $$x = 0, x = -2$$

Теперь решим уравнение с модулями: $$|x-2| + 3x = |x - 5| - 18$$

Рассмотрим несколько случаев:

1. $$x < 2$$:

$$-(x - 2) + 3x = -(x - 5) - 18$$

$$-x + 2 + 3x = -x + 5 - 18$$

$$2x + 2 = -x - 13$$

$$3x = -15$$

$$x = -5$$ (подходит)

2. $$2 \le x < 5$$:

$$(x - 2) + 3x = -(x - 5) - 18$$

$$4x - 2 = -x + 5 - 18$$

$$5x = -11$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2.2$$ (не подходит)

3. $$x \ge 5$$:

$$(x - 2) + 3x = (x - 5) - 18$$

$$4x - 2 = x - 23$$

$$3x = -21$$

$$x = -7$$ (не подходит)

Итого, решения: $$x = 0, x = -2, x = -5$$

Ответ: $$x = 0, -2, -5$$