1 Найдите значение выражения: 6 (()())) (1/8) 3√2+√3 √6 4 (()())) (√2) 15

Для решения данного выражения необходимо упростить его, используя свойства степеней и корней.

1. Преобразуем выражение:

$$(\frac{1}{\sqrt[6]{8}})^6 = (8^{-\frac{1}{6}})^6 = 8^{-1} = \frac{1}{8}$$

$$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^4 = (2^{\frac{1}{2}})^{\sqrt{2} \cdot 4} = 2^{2\sqrt{2}}$$

$$( \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{3})^3 = (2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2}})^3 = 2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} = 2 \cdot 3\sqrt{3}$$

$$(\sqrt{2})^{15} = (2^{\frac{1}{2}})^{15} = 2^{\frac{15}{2}} = 2^7 \cdot \sqrt{2} = 128\sqrt{2}$$

$$3^{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{6}} = 3^{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$$

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$$\frac{\frac{1}{8} \cdot 2^{2\sqrt{2}} \cdot 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 3^{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}}{128\sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot 2^{2\sqrt{2}} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 3^{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}}{128\sqrt{2}} $$

$$ = \frac{2^{2\sqrt{2}} \cdot 3^{1+\frac{1}{2} + \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}}{4 \cdot 128\sqrt{2}} = \frac{2^{2\sqrt{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2} + \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}}{512\sqrt{2}}$$

$$ = \frac{2^{2\sqrt{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2} + \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}}{512 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}$$

$$ = \frac{2^{2\sqrt{2}-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2} + \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}}{512}$$

Дальнейшее упрощение без численных методов затруднительно.

Ответ: $$\frac{2^{2\sqrt{2}-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2} + \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}}{512}$$