Решите уравнение x⁴ = (x – 12)².

Решение:

Можно решить это уравнение, раскрыв квадрат и приведя его к биквадратному уравнению, но проще воспользоваться свойством равенства корней.

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[ \sqrt{x^4} = \sqrt{(x - 12)^2} \]

\( |x^2| = |x - 12| \)

Так как \( x^2 \) всегда неотрицательно, \( |x^2| = x^2 \). Следовательно:

\[ x^2 = \pm (x - 12) \]

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x^2 = x - 12 \)

\[ x^2 - x + 12 = 0 \]

Найдём дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47 \). Так как \( D < 0 \), действительных корней нет.

Случай 2: \( x^2 = -(x - 12) \)

\[ x^2 = -x + 12 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ x^2 + x - 12 = 0 \]

Найдём дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \).

Найдём корни:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2} \]

\( x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Ответ: x = 3, x = -4.