Решите уравнение x(x² + 6x + 9) = 4(x + 3).

Решение:

Заметим, что \( x^2 + 6x + 9 \) — это полный квадрат \( (x+3)^2 \).

Подставим это в уравнение:

\[ x(x + 3)^2 = 4(x + 3) \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ x(x + 3)^2 - 4(x + 3) = 0 \]

Вынесем общий множитель \( (x + 3) \) за скобки:

\[ (x + 3)[x(x + 3) - 4] = 0 \]

Раскроем скобки во втором множителе:

\[ (x + 3)(x^2 + 3x - 4) = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 3x - 4 = 0 \). Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

Найдём корни квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2} \]

\( x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Таким образом, уравнение имеет три множителя, равных нулю:

\[ x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \]

\( x = 1 \)

\( x = -4 \)

Ответ: x = -3, x = 1, x = -4.