Решите уравнение x(x²+6x+9)=4(x+3)

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Оно выглядит немного страшно, но на самом деле всё просто!

1. Шаг 1: Разложим левую часть

   Обрати внимание на выражение в скобках: $$x^2 + 6x + 9$$. Это же формула квадрата суммы! $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$. В нашем случае $$a=x$$ и $$b=3$$. Значит, $$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$$.

   Теперь наше уравнение выглядит так: $$x(x+3)^2 = 4(x+3)$$.

2. Шаг 2: Перенесем всё в одну сторону

   Чтобы решить уравнение, обычно переносят всё в левую часть и приравнивают к нулю:

   $$x(x+3)^2 - 4(x+3) = 0$$

3. Шаг 3: Вынесем общий множитель

   Видишь, что $$(x+3)$$ есть и в первом, и во втором слагаемом? Это общий множитель! Вынесем его за скобки:

   $$(x+3) [x(x+3) - 4] = 0$$

4. Шаг 4: Раскроем скобки во второй части

   Внутри квадратных скобок раскроем скобки:

   $$(x+3) [x^2 + 3x - 4] = 0$$

5. Шаг 5: Решим квадратное уравнение

   Теперь у нас произведение двух множителей равно нулю. Это значит, что хотя бы один из множителей равен нулю.

   Случай 1: $$x+3 = 0 \rightarrow x_1 = -3$$.

   Случай 2: $$x^2 + 3x - 4 = 0$$. Это обычное квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант или по теореме Виета. По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -3$$ и $$x_1 \times x_2 = -4$$. Легко подобрать корни: $$x_2 = 1$$ и $$x_3 = -4$$.

Проверка:

Подставим найденные значения в исходное уравнение:

• При $$x = -3$$: $$-3((-3)^2 + 6(-3) + 9) = -3(9 - 18 + 9) = -3(0) = 0$$. Справа: $$4(-3+3) = 4(0) = 0$$. Верно!
• При $$x = 1$$: $$1(1^2 + 6(1) + 9) = 1(1 + 6 + 9) = 16$$. Справа: $$4(1+3) = 4(4) = 16$$. Верно!
• При $$x = -4$$: $$-4((-4)^2 + 6(-4) + 9) = -4(16 - 24 + 9) = -4(1) = -4$$. Справа: $$4(-4+3) = 4(-1) = -4$$. Верно!

Ответ: $$x = -3$$, $$x = 1$$, $$x = -4$$.