Решите уравнение (x - 2)⁴ + 3(x - 2)² - 10 = 0.

Решение:

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = (x - 2)^2 \). Тогда \( y^2 = ((x - 2)^2)^2 = (x - 2)^4 \).

Уравнение примет вид:

\[ y^2 + 3y - 10 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант:

\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]

Найдём значения \( y \):

\[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 7}{2} \]

\( y_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( y_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = (x - 2)^2 \).

Случай 1: \( (x - 2)^2 = 2 \)

\[ x - 2 = \pm\sqrt{2} \]

\( x = 2 \pm\sqrt{2} \)

Случай 2: \( (x - 2)^2 = -5 \)

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: x = 2 + √2, x = 2 - √2.