Решите тригонометрическое уравнение: cos(π/4 + x) = √2/2

Решение:

Дано тригонометрическое уравнение: \( \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Мы знаем, что \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Следовательно, аргумент косинуса \( \frac{\pi}{4} + x \) может быть равен \( \frac{\pi}{4} \) плюс \( 2\pi k \) или \( -\frac{\pi}{4} \) плюс \( 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Случай 1:

\( \frac{\pi}{4} + x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

Вычтем \( \frac{\pi}{4} \) из обеих частей:

\( x = 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Случай 2:

\( \frac{\pi}{4} + x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

Вычтем \( \frac{\pi}{4} \) из обеих частей:

\( x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

\( x = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi k \)

\( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \)$$, где \( k \in \mathbb{Z} \).

Объединяя оба случая, мы получаем общее решение.

Ответ: \( x = 2\pi k \) или \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).