Найдите функцию с помощью производной и постройте её график: f(x) = 1/3 x³ + 2x² + 3x

Нахождение производной:

Чтобы найти производную функции \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 3x \), продифференцируем каждый член:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3\right) + \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(3x) \)

Используя правило \( \frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1} \):

\( \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3\right) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = x^2 \)

\( \frac{d}{dx}(2x^2) = 2 \cdot 2x^{2-1} = 4x \)

\( \frac{d}{dx}(3x) = 3 \cdot 1x^{1-1} = 3x^0 = 3 \)

Следовательно, производная функции равна:

\( f'(x) = x^2 + 4x + 3 \)

Построение графика:

Для построения графика функции \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 3x \) найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

\( x^2 + 4x + 3 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -4 \), \( x_1 \cdot x_2 = 3 \). Корни: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = -3 \).

Теперь найдём значения функции в этих точках:

При \( x = -1 \):

\( f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1) = \frac{1}{3}(-1) + 2(1) - 3 = -\frac{1}{3} + 2 - 3 = -1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} \)

При \( x = -3 \):

\( f(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + 2(-3)^2 + 3(-3) = \frac{1}{3}(-27) + 2(9) - 9 = -9 + 18 - 9 = 0 \)

Точки экстремума: \( (-3, 0) \) и \( (-1, -4/3) \).

Определим знаки производной на интервалах:

• \( (-\infty, -3) \): возьмём \( x = -4 \). \( f'(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0 \) (функция возрастает).
• \( (-3, -1) \): возьмём \( x = -2 \). \( f'(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0 \) (функция убывает).
• \( (-1, \infty) \): возьмём \( x = 0 \). \( f'(0) = 0^2 + 4(0) + 3 = 3 > 0 \) (функция возрастает).

Значит, \( x = -3 \) — точка максимума, \( x = -1 \) — точка минимума.

Также найдём, где функция пересекает оси координат:

При \( x = 0 \): \( f(0) = 0 \). Точка \( (0, 0) \).

Для нахождения точек пересечения с осью \( Ox \), решаем \( \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 3x = 0 \). Вынесем \( x \) за скобки: \( x(\frac{1}{3}x^2 + 2x + 3) = 0 \). Один корень \( x=0 \). Для квадратного трёхчлена \( \frac{1}{3}x^2 + 2x + 3 \): дискриминант \( D = 2^2 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3 = 4 - 4 = 0 \). Значит, \( x = \frac{-2}{2 \cdot 1/3} = -3 \) (это точка касания или кратный корень, что согласуется с предыдущим расчётом).

Ответ: Производная \( f'(x) = x^2 + 4x + 3 \). Точки максимума: \( (-3, 0) \). Точки минимума: \( (-1, -4/3) \). График — кубическая парабола.