Решите иррациональное уравнение, возведя обе части уравнения в квадрат, и выполните проверку: √2x² - x = 2 - x

Решение:

Дано иррациональное уравнение: \( \sqrt{2x^2 - x} = 2 - x \)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{2x^2 - x})^2 = (2 - x)^2 \)

\( 2x^2 - x = 4 - 4x + x^2 \)

2. Перенесём все члены в одну сторону и приведём подобные:

\( 2x^2 - x - (4 - 4x + x^2) = 0 \)

\( 2x^2 - x - 4 + 4x - x^2 = 0 \)

\( x^2 + 3x - 4 = 0 \)

3. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета:

\( x_1 + x_2 = -3 \)

\( x_1 \cdot x_2 = -4 \)

Подбираем корни: \( x_1 = 1, x_2 = -4 \).

4. Проверка корней:

Для \( x = 1 \):

Левая часть: \( \sqrt{2(1)^2 - 1} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1 \)

Правая часть: \( 2 - 1 = 1 \)

Левая часть равна правой части. \( x = 1 \) — корень.

Для \( x = -4 \):

Левая часть: \( \sqrt{2(-4)^2 - (-4)} = \sqrt{2(16) + 4} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6 \)

Правая часть: \( 2 - (-4) = 2 + 4 = 6 \)

Левая часть равна правой части. \( x = -4 \) — корень.

Ответ: \( x = 1, x = -4 \).