Решите логарифмическое уравнение, используя определение логарифма: log₃(x² + 72) = 4

Решение:

Воспользуемся определением логарифма: если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).

В нашем случае \( a = 3 \), \( b = x^2 + 72 \), \( c = 4 \).

Применим определение к уравнению \( \log_3(x^2 + 72) = 4 \):

\( 3^4 = x^2 + 72 \)

Вычислим \( 3^4 \):

\( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81 \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( 81 = x^2 + 72 \)

Решим это квадратное уравнение:

\( x^2 = 81 - 72 \)

\( x^2 = 9 \)

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\( x = \pm \sqrt{9} \)

\( x = \pm 3 \)

Проверим, что подлогарифмическое выражение \( x^2 + 72 \) больше нуля для найденных значений \( x \).

Для \( x = 3 \): \( 3^2 + 72 = 9 + 72 = 81 > 0 \).

Для \( x = -3 \): \( (-3)^2 + 72 = 9 + 72 = 81 > 0 \).

Оба корня подходят.

Ответ: \( x = 3, x = -3 \).