10. Решите неравенство (х2 - 4x)² + 10 (x² - 4x) + 21 ≥ 0.

Разбираемся: Нужно решить неравенство (x² - 4x)² + 10(x² - 4x) + 21 ≥ 0.

1. Делаем замену:

\[ t = x^2 - 4x \]

Тогда неравенство примет вид:

\[ t^2 + 10t + 21 \ge 0 \]

2. Находим корни квадратного уравнения t² + 10t + 21 = 0:

\[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 \]

\[ t_1 = \frac{-10 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

\[ t_2 = \frac{-10 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 4}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]

3. Решаем неравенство t² + 10t + 21 ≥ 0 методом интервалов:

• t < -7: Например, t = -8. Тогда (-8)² + 10(-8) + 21 = 64 - 80 + 21 = 5 > 0.
• -7 < t < -3: Например, t = -4. Тогда (-4)² + 10(-4) + 21 = 16 - 40 + 21 = -3 < 0.
• t > -3: Например, t = 0. Тогда (0)² + 10(0) + 21 = 21 > 0.

Неравенство выполняется при t ≤ -7 или t ≥ -3.

4. Возвращаемся к замене:

\[ x^2 - 4x \le -7 \quad \text{или} \quad x^2 - 4x \ge -3 \]

5. Решаем каждое неравенство:

1) x² - 4x ≤ -7

\[ x^2 - 4x + 7 \le 0 \]

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12 < 0 \]

Так как дискриминант отрицательный, это неравенство не имеет решений.

2) x² - 4x ≥ -3

\[ x^2 - 4x + 3 \ge 0 \]

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

\[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Метод интервалов:

• x < 1: Например, x = 0. Тогда (0)² - 4(0) + 3 = 3 > 0.
• 1 < x < 3: Например, x = 2. Тогда (2)² - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0.
• x > 3: Например, x = 4. Тогда (4)² - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0.

Неравенство выполняется при x ≤ 1 или x ≥ 3.

Ответ: x ∈ (-∞; 1] U [3; +∞)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что неравенство выполняется на найденных интервалах.

Доп. профит: Уровень Эксперт! Замена переменных упрощает решение сложных неравенств. Всегда возвращайся к исходной переменной, чтобы найти окончательное решение.