7. При каких значениях переменной имеет смысл выражение √13.x-6x²-5?

Смотри, тут всё просто: Выражение под квадратным корнем должно быть больше или равно нулю, чтобы выражение имело смысл.

Решаем неравенство:

\[ 13x - 6x^2 - 5 \ge 0 \]

\[ -6x^2 + 13x - 5 \ge 0 \]

Умножим на -1 (знак неравенства меняется):

\[ 6x^2 - 13x + 5 \le 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[ 6x^2 - 13x + 5 = 0 \]

\[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49 \]

\[ x_1 = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \]

\[ x_2 = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]

Решаем методом интервалов:

1. Отмечаем корни на числовой прямой: 1/2 и 5/3.
2. Определяем знаки функции на каждом интервале:

• x < 1/2: Например, x = 0. Тогда 6(0)² - 13(0) + 5 = 5 > 0.
• 1/2 < x < 5/3: Например, x = 1. Тогда 6(1)² - 13(1) + 5 = 6 - 13 + 5 = -2 < 0.
• x > 5/3: Например, x = 2. Тогда 6(2)² - 13(2) + 5 = 24 - 26 + 5 = 3 > 0.

Неравенство 6x² - 13x + 5 ≤ 0 выполняется на интервале, где функция меньше или равна нулю.

Ответ: x ∈ [1/2; 5/3]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что подкоренное выражение неотрицательно на найденном интервале.

Доп. профит: База! Помни, что под квадратным корнем всегда должно быть неотрицательное число.