Решите неравенство: $$\frac{2x-4}{x+8} \ge 0$$

Решение:

Чтобы решить рациональное неравенство, найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корень числителя:

\[ 2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \]

2. Корень знаменателя:

\[ x + 8 = 0 \implies x = -8 \]

Теперь определим знаки выражения $$\frac{2x-4}{x+8}$$ на интервалах, образованных этими корнями: $$(-\infty; -8)$$, $$(-8; 2]$$, $$[2; +\infty)$$.

Метод интервалов:

• Интервал $$(-\infty; -8)$$: Возьмём $$x = -10$$. $$\frac{2(-10)-4}{-10+8} = \frac{-24}{-2} = 12 > 0$$.
• Интервал $$(-8; 2]$$: Возьмём $$x = 0$$. $$\frac{2(0)-4}{0+8} = \frac{-4}{8} = -0.5 < 0$$.
• Интервал $$[2; +\infty)$$: Возьмём $$x = 3$$. $$\frac{2(3)-4}{3+8} = \frac{2}{11} > 0$$.

Нам нужно найти значения $$x$$, для которых неравенство $$\ge 0$$. Это означает, что выражение должно быть положительным или равным нулю.

Положительные интервалы: $$(-\infty; -8)$$ и $$[2; +\infty)$$.

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $$x \neq -8$$. Знаменатель $$x+8$$ обращается в ноль при $$x=-8$$. Числитель $$2x-4$$ обращается в ноль при $$x=2$$. Значит, $$x=2$$ включается в решение, а $$x=-8$$ — нет.

Объединяя интервалы, получаем:

\[ x \in (-\infty; -8) \cup [2; +\infty) \]

Ответ: $$(-\infty; -8) \cup [2; +\infty)$$.